例 3 三個(gè)質(zhì)數(shù)的和為 122，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值。 解：因?yàn)槿齻�(gè)質(zhì)數(shù)的和為 122 是偶數(shù)，所以這三個(gè)質(zhì)數(shù)當(dāng)中必定有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，另外兩個(gè)質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。在質(zhì)數(shù)中，2 是唯一的偶數(shù)，故三個(gè)質(zhì) 數(shù)中有一個(gè)質(zhì)數(shù)是 2。

　　另外兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和為定值(120)，為使這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積盡可能地大， 就要使該兩個(gè)質(zhì)數(shù)的差值盡可能地小，因?yàn)?1202÷2=60，所以得到 59 和 61 兩個(gè)質(zhì)數(shù)，是和為 120 且差為最小的兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的積也就最大。

　　綜合以上情況，和為 122 的三個(gè)質(zhì)數(shù)中，以 2、59、61 這三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘 積最大，最大乘積為 2×59×61=7198。

　　答：三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是 7198。 說(shuō)明：注意“如果兩個(gè)整數(shù)的和一定，那么當(dāng)這兩個(gè)數(shù)的差值盡可能小時(shí)，其乘積最大”。

　　例如，和為 11 的兩個(gè)整數(shù)有如下五種情況：1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，相對(duì)應(yīng)的乘積是 10、18、24、28、30，通過(guò)比較，可得“和為 11，其 積最大的兩個(gè)整數(shù)是 5 和 6”。

　　例 4 如果 325×472+765×895×( )的積的最后五個(gè)數(shù)字都是零， 那么括號(hào)內(nèi)填入的自然數(shù)最小可以是多少?(上海市 1989 年小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)比賽題)

　　解：

　　要使五個(gè)數(shù)的連乘積的最后五個(gè)數(shù)字都是 0，這個(gè)連乘積一定是 100000 的倍數(shù)，把 100000 分解質(zhì)因數(shù)：100000=2⁵×5⁵。

　　說(shuō)明要使連乘積的末尾有五個(gè)零，因數(shù)中至少應(yīng)該有五個(gè)2 和五個(gè)5。因?yàn)?25=5²×13， 765=3×5×51，472=2³×59，895=5×179四個(gè)數(shù)的乘積里一共包含了 4 個(gè) 5 和 3 個(gè) 2，必須要再乘以兩個(gè) 2 和一 個(gè) 5，所以括號(hào)里應(yīng)填 22×5=20。

　　答：在括號(hào)內(nèi)最小可以是 20。

　　例 5 360 這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)?這些約數(shù)的和是多少?(第三屆華羅庚金杯賽決賽題)

　　解：把 360 分解質(zhì)因數(shù)是：360=2³×3²×5，所以 360 的任何一個(gè)約數(shù)都 是從三個(gè)質(zhì)數(shù) 2、二個(gè)質(zhì)數(shù) 3、一個(gè)質(zhì)數(shù) 5 中取若干個(gè)出來(lái)相乘得到的。

　　23 的約數(shù)是 1、2、4、8(或 1、21、22、23);

　　32 的約數(shù)是 1、3、9(或 1、31、32);

　　5 的約數(shù)是 1、5(或 1、51)。 如果我們把下面的式子

　　(l+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5) 展開成一個(gè)和式，和式中的每一個(gè)加數(shù)都是在每個(gè)括號(hào)里各取一個(gè)數(shù)相乘的 積。由前面的分析可得，360 的任一個(gè)約數(shù)都恰好是這個(gè)展開式中的一個(gè)加 數(shù)。由于第一個(gè)括號(hào)里有 4 個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)里有 3 個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)里有2 個(gè)數(shù)，所以這個(gè)展開式中的加數(shù)個(gè)數(shù)是 4×3×2=24，這就是 360 的約數(shù)的總個(gè)數(shù)，這些約數(shù)是：

　　1×1×1=1，2×1×1=2，4×1×1=4，8×1×1=8，

　　1×1×5=5，2×1×5=10，4×1×5=20，8×1×5=40，

　　1×3×1=3，2×3×1=6，4×3×1=12，8×3×1=24，

　　1×3×5=15，2×3×5=30，4×3×5=60，8×3×5=120，

　　1×9×1=9， 2×9×1=18，4×9×1=36，8×9×1=72，

　　1×9×5=45，2×9×5=90，4×9×5=180，8×9×5=360。

　　(你能知道上面每個(gè)等式中，三個(gè)數(shù)相乘的由來(lái)嗎?)

　　另一方面，360 的所有約數(shù)的和就等于這個(gè)展開式的和，也就是(1+21+22+23)×(1+31+32)×(1+51)=1170。

　　答： 360 的約數(shù)有 24 個(gè)，這些約數(shù)的和是 1170。

　　說(shuō)明：本題中的二個(gè)問(wèn)題的解法具有一般性，并由此可以得出下面二個(gè)結(jié)論。

　　若 自然數(shù) N 可以分解質(zhì)因數(shù)為：

　　(其中 a、b、C 為不同的質(zhì)數(shù)，m、s、t 為自然數(shù))， 則(1)自然數(shù) N 的約數(shù)的總個(gè)數(shù)是(m+1)·(s+1)·(t+1);

　　(2)自然數(shù) N 的所有約數(shù)的總和是

　　以上兩個(gè)結(jié)論可以推廣到一般的情況。

　　例 6 A、B 兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù) 3 和 5，它們的最大公約數(shù)是 75，已知 A 有 12 個(gè)約數(shù)，B 有 10 個(gè)約數(shù)，那么 A、B 兩數(shù)的最小公倍數(shù)是多少?

　　解：因?yàn)?A、B 兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù) 3 和 5，所以設(shè) A=3^m·5ⁿ，B=3^s·5^t。 因?yàn)?A、B 兩數(shù)的最大公約數(shù)是 75=3×5²，所以，n≥2，t≥2。

　　又因?yàn)?A 有 12 個(gè)約數(shù)，根據(jù)例 8 后的說(shuō)明可得(m+1)

　　·(n-1)=12=(1 十 1)·(5+1)=(2+1)·(3+1)=(3+1)

　　·(2+1)。所以 A 有三種可能：

　　3×5⁵ 或 3²×5³ 或 3³×5²。 同理，因?yàn)橐矣?10 個(gè)約數(shù)，可得

　　(s+1)·(t+1)=10=(1 十 1)·(4+1)， 所以 B=3×5⁴=1875。

　　由于 A、B 的最大公約數(shù)是 3×5²，所以 A 只能是 3³×5²=673。這樣可得 A、B 兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 3³×5⁴=16875。

　　答：A、B 兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 16875。