例 7 有 8 個不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少?

　　解：設(shè)有 8 個不同約數(shù)的自然數(shù)為 N，根據(jù)例 8 后的說明來分析 N 的取 值可能性。

　　因?yàn)?8=7+1=(1+1)·(3+1)=(3+1)·(1+1)=(1+l)·(1+1)·(1+l)，所以 N 只能為下面四種形式：

　　(1)N=a⁷ (3)N=a³×b

　　(2)N=a×b³ (4)N=a×b×C

　　(a、b、c 為不同的質(zhì)數(shù))

　　要使 N 最小，可以用 a=2，b=3，C=5 去代入上面四個等式，分別得到 N 為 128、54、24、30。所以有 8 個不同約數(shù)的自然數(shù)中最小的一個是 24。

　　答：最小的一個是 24。

　　例 8 (中國古代問題) 今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?

　　這一問題可譯為：一個數(shù)除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求適合這些條件的最小數(shù)。

　　解法 1：用枚舉法。

　　(1)除以 3 余 2 的數(shù)有：5、8、11、14、17⋯⋯;

　　(從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比它的前一個數(shù)多 3)

　　(2)除以 5 余 3 的數(shù)有：8、13、18、23、28、⋯⋯。

　　(從第二個數(shù)起，每一個數(shù)都比它的前一個數(shù)多 5)

　　顯然 8 被 3 除余 2，且被 5 除余 3。因?yàn)?3 與 5 的最小公倍數(shù)是 15，所 以 15+8、15×2+8⋯⋯15×n+8，都同時滿足被 3 除余 2，被 5 除余 3 這兩 個條件，只須在這列數(shù)中找到被 7 除余 2 的最小數(shù)。為此只要用 n=1、2、3、4、⋯⋯依次去代入 15×n+8。當(dāng) n=1 時，15×1+8=23，23÷7=3⋯⋯2 所以 符合題意的數(shù)是 23。

　　解法 2：

　　(1)從 5 和 7 的公倍數(shù) 35、 70、 105⋯中找出除以 3 余 2 的最小數(shù)是 35。

　　(2)從 3 和 7 的公倍數(shù) 21、 42、63、⋯中找出除以 5 余 3 的最小數(shù)是 63。

　　(3)從 3 和 5 的公倍數(shù) 15、30、45、⋯中找出除以 7 余 2 的最小數(shù)是30。

　　所以 35+63+30=128 能符合“被 3 除余 2、被 5 除余 3、被 7 除余 2”。 又因?yàn)?3、5、7 的最小公倍數(shù)是 105，由此得符合題意的數(shù)是 128-105×1=23。

　　答：適合這些條件的最小數(shù)是 23。 說明：這個問題是馳名中外的中國古代問題之一。解答這類問題要用到古代數(shù)學(xué)家孫子所發(fā)明的著名定理——“孫子定理”，它的解法很早就流傳到國外，被稱為“中國剩余定理”。

　　例 9 一個數(shù)減去 1 能被 2 整除，減去 2 能被 5 整除，減去 3 能被 7 整 除，加上 4 能被 9 整除，這個數(shù)最小是多少?

　　(1990 年江西省小學(xué)生“八一杯”數(shù)學(xué)比賽題)解：

　　(1)“減去 1 能被 2 整除”的數(shù)，可知這個數(shù)是奇數(shù)。

　　(2)“減去 2 能被 5 整除”的數(shù)，可知它的個位數(shù)是 2 或 7。

　　(3)“減去 3 能被 7 整除”的數(shù)，可知這個數(shù)是 10、 17、24、⋯⋯ 同時符合(1)、(2)、(3)的數(shù)是 17。

　　因?yàn)?2、5、7 的最小公倍數(shù)是 70，所以同時符合(1)、(2)、 (3) 的數(shù)的一般式是 70×n+17。

　　又因?yàn)?ldquo;一個數(shù)加上 4 能被 9 整除”相當(dāng)于“一個數(shù)被 9 除不足 4”， 也就是“一個數(shù)被 9 除余 9-4=5”。所以用 n=1、2、3、4、5、⋯⋯代入 70×n+17，當(dāng) n=6 時，70×6+17=437 被 9 除余 5，由此得符合題意的最小數(shù)是437。

　　答：這個數(shù)最小是 437。

　　例 10 幼兒園拿出一塊長方體木料，長 72 厘米，寬 60 厘米，高 36 厘

　　米，請王師傅把它鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積要最大，木料又不能剩余，算一算，可以鋸成幾塊?

　　(廈門市小學(xué)生 1986 年“從小愛數(shù)學(xué)”預(yù)賽題) 解：由題意可得王師傅要把原長方體木料鋸成同樣大小的正方體木塊(體積要最大)，木料又不能剩余，那么鋸成的正方體的棱長必須是長方體木料的長、寬、高的最大公約數(shù)。

　　72、60、36 的最大公約數(shù)是 2×2×3=12。所以，能鋸成最大正方體的木塊數(shù)是 6×5×3=90(塊)�；�(72×60×36)÷(12×12×12)90(塊)。 答：可以鋸成 90 塊。

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