小學(xué)常見圖形面積公式：菱形公式

　　定理簡述及證明

　　菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2菱形的面積也可=底乘高拋物線弓形面積公式拋物線弦長公式及應(yīng)用本文介紹一個(gè)公式，可以簡捷準(zhǔn)確地求出直線被拋物線截得的弦長，還可以利用它來判斷直線與拋物線位置關(guān)系及解決一些與弦長有關(guān)的題目.方法簡單明了，以供參考.

　　拋物線弓形面積公式等于：以割線為底，以平行于底的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形的3/4，即：拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

　　定理直線y=kx+b(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為∣AB∣=①證明由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2-+=0∴y1+y2=，y1y2=.∣y1-y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1-y2|=當(dāng)直線y=kx+b(k≠0)過焦點(diǎn)時(shí)，b=-，代入①得∣AB∣=P(1+k2)，

　　于是得出下面推論：

　　推論1：過焦點(diǎn)的直線y=kx-(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為∣AB∣=P(1+k2)②在①中，由容易得出下面推論：

　　推論2：己知直線l：y=kx+b(k≠0)及拋物線C：y^2=2PxⅠ)當(dāng)P>2bk時(shí)，l與C交于兩點(diǎn)(相交)；Ⅱ)當(dāng)P=2bk時(shí)，l與C交于一點(diǎn)(相切)；Ⅲ)當(dāng)P<2bk時(shí)，l與C無交點(diǎn)(相離).

　　定理應(yīng)用下面介紹定理及推論的一些應(yīng)用：

　　例1：(課本P.57例1)求直線y=x+被拋物線y=x^2截得的線段的長？

　　分析：題中所給方程與定理中的方程形式不一致，可把x看成y用①即可.

　　解曲線方程可變形為x^2=2y則P=1，直線方程可變形為x=y-，即k=1，b=-.由①得∣AB∣=4.

　　例2：求直線2x+y+1=0到曲線y^2-2x-2y+3=0的最短距離.

　　分析：可求與已知直線平行并和曲線相切的直線，二直線間距離即為要求的最短距離.

　　解曲線可變形為(y-1)^2=2(x-1)則P=1，由2x+y+1=0知k=-2.由推論2，令2bk=P，解得b=-.∴所求直線方程為y-1=-2(x-1)-，即2x+y-=0.∴.故所求最短距離為.

　　例3：當(dāng)直線y=kx+1與曲線y=-1有交點(diǎn)時(shí)，求k的范圍.

　　解曲線可變形為(y+1)^2=x+1(x≥-1，y≥-1)，則P=1/2.直線相應(yīng)地可變?yōu)閥+1=k(x+1)-k+2，∴b=2-k.由推論2，令2bk≤P，即2k(2-k)≤，解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+時(shí)直線與曲線有交點(diǎn).注：曲線作怎樣變形，直線也必須作相應(yīng)平移變形，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

　　例4：拋物線y^2=2Px內(nèi)接直角三角形，一直角邊所在直線為y=2x，斜邊長為5.求拋物線的方程.解設(shè)直角三角形為AOB.由題設(shè)知kOA=2，kOB=-.由①，|OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2，得P=.∴拋物線方程為y^2=x.

　　例5：設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，PQ為過的弦，己知∣OF∣=a，∣PQ∣=b，.求SΔOPQ

　　解以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸建立直角坐標(biāo)系(見圖)，依題設(shè)條件，拋物線方程為y^2=4ax(P=2a)，設(shè)PQ的斜率為k，由②|PQ|=，已知|PQ|=b，k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF=a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=absinθ=.