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數(shù)學家的故事:丟番圖猜想

來源:網絡資源 文章作者:奧數(shù)網整理 2018-08-21 13:49:16

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  公元3世紀前后,亞歷山大學派的學者丟番圖發(fā)現(xiàn)1,33,68,105中任何兩數(shù)之積再加上256,其和皆為某個有理數(shù)的平方。在丟番圖的上述發(fā)現(xiàn)約1300年后,法國業(yè)余數(shù)學家費馬發(fā)現(xiàn)數(shù)組:1,3,8,120中任意兩數(shù)之積再加上1后,其和均為完全平方數(shù)。此后,其神秘的面紗才逐步揭開。但問題也許并沒有完,人們也許還自然會想到:

  1,有上述性質的數(shù)組中,數(shù)的個數(shù)是否能超越四個。

  2,有無這樣的數(shù)組,在兩兩相乘后加其它數(shù)后,還能為完全平方數(shù)。對于任給的n個正整數(shù)a_1,a_2,…,a_n,總存在一個實數(shù)x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我們給出如下更一般的猜想:對于任給的n個正數(shù)a_1,a_2,…,a_n,總存在n個整數(shù)k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,對任給的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且對更一般的猜想作了一些研究,給出了n=2,3時的證明,其方法較以前完全不同。

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