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數(shù)學(xué)猜想系列----連續(xù)統(tǒng)之迷

來(lái)源:轉(zhuǎn)載 文章作者: 2008-06-11 16:54:45

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 。ㄗⅲ何闹袑⒗蛄阌洖閍lf(0),阿拉夫一記為alf(1),依次類推…)

  由于alf(0)是無(wú)窮基數(shù),阿拉夫是有異于有限運(yùn)算的神奇運(yùn)算,因而,以下的結(jié)果也不足為怪:

  alf(0)+1=alf(0)

  alf(0)+n=alf(0)

  alf(0)+alf(0)=alf(0)

  alf(0)Xn=alf(0)

  alf(0)Xalf(0)=alf(0)

  alf(0)是自然數(shù)集的基數(shù)。一個(gè)無(wú)窮基數(shù),只要是可數(shù)集,其基數(shù)必為alf(0)。由可排序性,可知如整數(shù)集、有理數(shù)集的基數(shù)為alf(0);或由它們的基數(shù)為alf(0),得它們?yōu)榭蓴?shù)集。而實(shí)數(shù)集不可數(shù)(可由康托粉塵線反證不可數(shù))推之存在比alf(0)更大的基數(shù)。乘法運(yùn)算無(wú)法突破alf(0),但冪集可突破:2alf(0)=alf(1)

  可以證明實(shí)數(shù)集的基數(shù)card(R)=alf(1)。進(jìn)而,阿拉夫"家族"一發(fā)而不可收:2alf(1)=alf(2);2alf(2)=alf(3);……

  alf(2)究竟有何意義?人們冥思苦想,得出:空間所有曲線的數(shù)目。但而后的alf(3),人類絞盡腦汁,至今為能道出眉目來(lái)。此外,還有一個(gè)令人困惑的連續(xù)統(tǒng)之迷:"alf(0)與alf(1)之間是否還存在另一個(gè)基數(shù)?"

  公元1878年,康托提出了這樣的猜想:在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數(shù)。但當(dāng)時(shí)康托本人對(duì)此無(wú)法予以證實(shí)。

  公元1900年,在巴黎召開的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議上,德國(guó)哥庭根大學(xué)教授希爾伯特提出了舉世聞名的23個(gè)二十世紀(jì)須攻克的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)顯赫的排在第一個(gè)。然而這個(gè)問(wèn)題的最終結(jié)果卻是完全出人意料的。

  公元1938年,奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了"連續(xù)統(tǒng)假設(shè)決不會(huì)引出矛盾",意味著人類根本不可能找出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有什么錯(cuò)誤。1963年,美國(guó)數(shù)學(xué)家柯亨居然證明了:"連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨(dú)立的",也就是說(shuō)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)根本不可能被證明。

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