五、構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。
例5 9999和99！能否表示成為99個(gè)連續(xù)的奇自然數(shù)之和？
解：9999能。因?yàn)?/font>9999等于99個(gè)9998之和，所以可以直接構(gòu)造如下：
9999=（9998-98）+（9998-96）+…+
=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+
=（9998+96）+（9998+98）。
99！不能。因?yàn)?/font>99！為偶數(shù)，而99個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99！不能表示為99個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和。
說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對(duì)象構(gòu)造出來就行。
例6 從1，2，3，…，999這999個(gè)數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個(gè)數(shù)都不等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？
解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個(gè)數(shù)，因?yàn)閯澣チ松鲜鲞@30個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個(gè)數(shù)之積將大于322=1024＞999。
另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個(gè)數(shù)。
�。�2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，
�。�30，33，30×33），（31，32，31×32）。
上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為 31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個(gè)，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個(gè)，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個(gè)數(shù)。
六、配對(duì)法
配對(duì)的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對(duì)，也有集合間元素與元素的配對(duì)（可用于計(jì)數(shù)）。傳說高斯8歲時(shí)求和（1+2+…+100）首創(chuàng)了配對(duì)。像高斯那樣，善于使用配對(duì)技巧，常常能使一些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。
例7 求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。
解：在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)，因?yàn)?/font>0與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對(duì)的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對(duì)，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。
例8 某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)。若號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼 0734，因 0+7=3+4，所以這個(gè)號(hào)碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。
解：顯然，號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。
由于m+n=9999，相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，所以除去號(hào)碼是9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部兩兩配對(duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。
因?yàn)?/font>9999=99×101，所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。
試說明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。
解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的辦法，將和
�、佗趦墒较嗉�，得
從而
2m×88！=89×k（k是正整數(shù)）。
因?yàn)?/font>89為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除 88！，從而89|m。
解法二：作配對(duì)處理
將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，
從而
m×88！=89×k（k=n×q）。
因?yàn)?/font>89為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88！，從而89|m。
