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六年級(jí)奧數(shù)課堂:數(shù)論的方法技巧之二(2)

2011-10-20 11:31:16      下載試卷

五、構(gòu)造法

  構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,它靈活多樣,數(shù)論中的許多問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來(lái)解決。

  例5 999999!能否表示成為99個(gè)連續(xù)的奇自然數(shù)之和?

  解:9999能。因?yàn)?/font>9999等于99個(gè)9998之和,所以可以直接構(gòu)造如下:

  9999=9998-98+9998-96++

  =9998-2+9998+9998+2++

  =9998+96+9998+98)。

  99!不能。因?yàn)?/font>99!為偶數(shù),而99個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),所以99!不能表示為99個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和。

  說(shuō)明:利用構(gòu)造法證明存在性問(wèn)題,只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對(duì)象構(gòu)造出來(lái)就行。

  例6 1,23,…,999999個(gè)數(shù)中,要求劃去盡量少的數(shù),使得余下的數(shù)中每一個(gè)數(shù)都不等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)?

  解:我們可劃去2,3,…,30,3130個(gè)數(shù),因?yàn)閯澣チ松鲜鲞@30個(gè)數(shù)之后,余下的數(shù)中,除1以外的任何兩個(gè)數(shù)之積將大于322=1024999

  另一方面,可以通過(guò)構(gòu)造三元數(shù)組來(lái)證明30是最少的個(gè)數(shù)。

  (261,2×61),(3,60,3×60),(4,594×59),…,

 。30,33,30×33),(31,3231×32)。

  上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的,并且這些數(shù)中的最大數(shù)為 31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個(gè),那么上述三元數(shù)組至少剩下一個(gè),這樣就不滿足題設(shè)條件。所以,30是最少的個(gè)數(shù)。

六、配對(duì)法

  配對(duì)的形式是多樣的,有數(shù)字的湊整配對(duì),也有集合間元素與元素的配對(duì)(可用于計(jì)數(shù))。傳說(shuō)高斯8歲時(shí)求和(1+2++100)首創(chuàng)了配對(duì)。像高斯那樣,善于使用配對(duì)技巧,常常能使一些表面上看來(lái)很麻煩,甚至很棘手的問(wèn)題迎刃而解。

  例7 1,23,…,999999899999999999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。

  解:在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0,并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬(wàn)個(gè)數(shù)兩兩配對(duì),因?yàn)?/font>09999999,19999998,…,49999995000000各對(duì)的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對(duì),故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。

  例8 某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購(gòu)物券,每張購(gòu)物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼,從00019999號(hào)。若號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和,則稱這張購(gòu)物券為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼 0734,因 0+7=3+4,所以這個(gè)號(hào)碼的購(gòu)物券是幸運(yùn)券。試說(shuō)明,這個(gè)商場(chǎng)所發(fā)的購(gòu)物券中,所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。

  解:顯然,號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券,除這張幸運(yùn)券外,如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券,那么號(hào)碼為m=9999-n的購(gòu)物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù),所以mn。

  由于m+n=9999,相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位,所以除去號(hào)碼是9999這張幸運(yùn)券之外,其余所有幸運(yùn)券可全部?jī)蓛膳鋵?duì),而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999,即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。

  因?yàn)?/font>9999=99×101,所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。

  

  試說(shuō)明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。

  解法一:仿照高斯求和(1+2+3++n)的辦法,將和

  

 、佗趦墒较嗉樱

 

  從而

  2m×88!=89×kk是正整數(shù))。

  因?yàn)?/font>89為奇質(zhì)數(shù),所以89不能整除 88!,從而89|m。

  解法二:作配對(duì)處理

  

  將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分,其公分母為

  1×88×2×87×3×86×…×44×45=88!,

  

  從而

  m×88=89×kk=n×q)。

  因?yàn)?/font>89為奇質(zhì)數(shù),所以89不能整除88!,從而89|m。

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