六年級奧數課堂: 整數問題之一
整數是最基本的數,它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中,有關整數的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數知識以外,還必須通過課外活動來補充一些整數的知識,以及解決問題的思路和方法。
對于兩位、三位或者更多位的整數,有時要用下面的方法來表示:
49=4×10+9,
235=2×100+3×10+5,
7064=7×1000+6×10+4,
…………………
就是
一、整除
整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b,商是整數且余數為0,我們就說a能被b整除,或b能整除a,或b整除a,記作b丨a.此時,b是a的一個因數(約數),a是b的倍數.
1.整除的性質
性質1 如果a和b都能被m整除,那么a+b,a-b也都能被m整除(這里設a>b).
例如:3丨18,3丨12,那么3丨(18+12),3丨(18-12).
性質2 如果a能被b整除,b能被c整除,那么a能被c整除。
例如: 3丨6,6丨24,那么3丨24.
性質3 如果a能同時被m、n整除,那么a也一定
能被m和n的最小公倍數整除.
例如:6丨36,9丨26,6和9的最小公倍數是18,18丨36.
如果兩個整數的最大公約數是1,那么它們稱為互質的.
例如:7與50是互質的,18與91是互質的.
性質4 整數a,能分別被b和c整除,如果b與c互質,那么a能被b×c整除.
例如:72能分別被3和4整除,由3與4互質,72
能被3與4的乘積12整除.
性質4中,“兩數互質”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除,但不能被乘積48整除,這就是因為6與8不互質,6與8的最大公約數是2.
性質4可以說是性質3的特殊情形.因為b與c互
質,它們的最小公倍數是b×c.事實上,根據性質4,我們常常運用如下解題思路:
要使a被b×c整除,如果b與c互質,就可以分別考慮,a被b整除與a被c整除.
能被2,3,4,5,8,9,11整除的數都是有特征的,我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數的整除問題.