六年級奧數(shù)課堂： 整數(shù)問題之一

　整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學問題.在中、小學生的數(shù)學競賽中，有關整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數(shù)知識以外，還必須通過課外活動來補充一些整數(shù)的知識，以及解決問題的思路和方法。

　　對于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時要用下面的方法來表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　就是

一、整除

　　整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù).

　　1.整除的性質(zhì)

　　性質(zhì)1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性質(zhì)2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性質(zhì)3 如果a能同時被m、n整除，那么a也一定

　　能被m和n的最小公倍數(shù)整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.

　　如果兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.

　　例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.

　　性質(zhì)4 整數(shù)a，能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72

　　能被3與4的乘積12整除.

　　性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因為6與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.

　　性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.因為b與c互

　　質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運用如下解題思路：

　　要使a被b×c整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題.