例20 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是15，第二個(gè)數(shù)是40，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)的和，問(wèn)這串?dāng)?shù)中，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫(xiě)出來(lái)，再看每一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說(shuō)到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個(gè)數(shù)起，把前兩個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?/font>
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.
一些有規(guī)律的數(shù)，常常會(huì)循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
這十二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)循環(huán).
按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是
日，一，二，三，四，五，六.
這也是一個(gè)循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時(shí)間：鐘表、星期、月、四季，說(shuō)明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來(lái)反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.
循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱(chēng)作具有“周期性”，12個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說(shuō)周期是12，7個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說(shuō)周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.
下面我們?cè)倥e出兩個(gè)余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個(gè)從帶余除式得出的結(jié)論：
甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來(lái)除，得到兩個(gè)余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)的積，被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).
例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數(shù)是 4×5＝20被 11除后的余數(shù) 9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×2＝4.
例 21 191997被7除余幾？
解：從上面的結(jié)論知道，191997被7除的余數(shù)與21997被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).
先寫(xiě)出一列數(shù)
2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，
2×2×2×2＝16，….
然后逐個(gè)用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：
事實(shí)上，只要用前一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個(gè)數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請(qǐng)想一想.）
從表中可以看出，第四個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對(duì)余數(shù)的計(jì)算，就知道，第五個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個(gè)數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.
1997＝ 3× 665 ＋ 2.
就知道21997被7除的余數(shù)，與21997 被 7除的余數(shù)相同，這個(gè)余數(shù)是4.
再看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.
例22 70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和.這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：
0，1，3，8，21，55，….
問(wèn)：最右邊一個(gè)數(shù)（第70個(gè)數(shù)）被6除余幾？
解：首先要注意到，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都恰好等于前一個(gè)數(shù)的3倍減去再前一個(gè)數(shù)：
3＝1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不過(guò)，真的要一個(gè)一個(gè)地算下去，然后逐個(gè)被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個(gè)數(shù)起，余數(shù)的計(jì)算辦法如下：
將前一個(gè)數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個(gè)數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.
用這個(gè)辦法，可以逐個(gè)算出余數(shù)，列表如下：
注意，在算第八個(gè)數(shù)的余數(shù)時(shí)，要出現(xiàn)0×3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因?yàn)槲覀兦蟊?除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來(lái)減 1.
從表中可以看出，第十三、第十四個(gè)數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個(gè)數(shù)的余數(shù)對(duì)應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.
70 ＝12×5+10.
因此，第七十個(gè)數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個(gè)數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.
在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：
“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”按照今天的話來(lái)說(shuō)：
一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)數(shù).
