奧數(shù)天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎(chǔ)訓(xùn)練、考 題學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并且奧數(shù)成績中上的學(xué)生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應(yīng)用和加深各知識(shí)點(diǎn)，適合一些志在競(jìng)賽中 奪取佳績的學(xué)生。
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數(shù)的整除
難度：★★★★
某些數(shù)除以 11余 1，除以 13余 3，除以 15余 13，那么這些數(shù)中最小的數(shù)是_______．
【答案】
設(shè)這個(gè)數(shù)為M,所以M=11x+1=13y+3=15z+13,其中x、y、z都是自然數(shù)；所以11x=11y+2y+2=11z+4z+11+1,即：
也就是y+1和4z+1都能夠被11整除；其中滿足條件的y最小為10
當(dāng)y=10時(shí)，x=12,z=8也滿足條件
所以滿足題意的最小的數(shù)為13×10+3=133
難度：★★★★★
在自然數(shù) 1—2011中，最多可以取出________個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中任意四個(gè)數(shù)的和都不能被 11整除。
【答案】
分析這任意這個(gè)數(shù)不能被11整除的情況，其中余數(shù)為1和2的肯定全部都滿足條件（因?yàn)?+2+2+2=8<11），那么2011÷11=182...9，所以得出1-2011中，余數(shù)是1和2的數(shù)有182×2+2=366個(gè)；
另外分析余數(shù)是3的情況，最多允許有2個(gè)，因?yàn)楫?dāng)有3個(gè)余數(shù)為3的情況時(shí)，有3+3+3+2=1能被11整除，不滿足情況，所以余數(shù)為3的數(shù)最多只能有2個(gè)；最后考慮能夠被11整除的數(shù)，最多只能有3個(gè)，因?yàn)槌^4個(gè)話就有整除的情況發(fā)生；綜上所述：最多可以取出滿足條件的數(shù)有366+3+2=371個(gè)。
