例7 按不同的方法對圖中的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)，可以得出一系列等式，進(jìn)而可猜想到一個(gè)重要的公式.
由此可以使人體會(huì)到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
22+2×2+1.
方法2：把點(diǎn)圖看作一個(gè)整體來算32.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
22+2×2+1=32.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
32+2×3+1.
方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來算：42.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
32+2×3+1=42.
方法1：先算空心點(diǎn)，再算實(shí)心點(diǎn)：
42+2×4+1.
方法2：把點(diǎn)圖看成一個(gè)整體來算52.
因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)不會(huì)因計(jì)數(shù)方法不同而變，所以得出：
42+2×4+1=52.
把上面的幾個(gè)等式連起來看，進(jìn)一步聯(lián)想下去，可以猜到一個(gè)一般的公式：
22+2×2+1=32
32+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=(n+1)2.
利用這個(gè)公式，也可用于速算與巧算.
如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100
992+2×99+1=(99+1)2
=1002=10000.
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