例7 按不同的方法對圖中的點進行數(shù)數(shù)與計數(shù)，可以得出一系列等式，進而可猜想到一個重要的公式.
由此可以使人體會到數(shù)與形之間的耐人導(dǎo)味的微妙關(guān)系.
方法1：先算空心點，再算實心點：
22+2×2+1.
方法2：把點圖看作一個整體來算32.
因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：
22+2×2+1=32.
方法1：先算空心點，再算實心點：
32+2×3+1.
方法2：把點圖看成一個整體來算：42.
因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：
32+2×3+1=42.
方法1：先算空心點，再算實心點：
42+2×4+1.
方法2：把點圖看成一個整體來算52.
因為點數(shù)不會因計數(shù)方法不同而變，所以得出：
42+2×4+1=52.
把上面的幾個等式連起來看，進一步聯(lián)想下去，可以猜到一個一般的公式：
22+2×2+1=32
32+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=(n+1)2.
利用這個公式，也可用于速算與巧算.
如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100
992+2×99+1=(99+1)2
=1002=10000.
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