二、改進珠算法

　　《算法統(tǒng)宗》的另一特點是大部分題采用珠算，這也體現(xiàn)廠作者著眼于應用的精神。珠算盤是一種構造簡單、價格低廉、容易攜帶的計算工具。珠算與籌算相比，運算更為方便、迅速。但當時的珠算方法還不夠完善，有的口訣也不夠順暢，于是程大位便花大力氣改進珠算法及珠算口訣。他為了區(qū)別乘除法口訣，在卷一明確規(guī)定：“九九合數(shù)”應“呼小數(shù)在上，大數(shù)在下”，“九歸歌”應“呼大數(shù)在上，小數(shù)在下”。例如“六八四十八”是乘法口訣，“八六七十四”是除法口訣。書中記載著完整的撞歸口訣，如“一歸：見一無除作九一，起一下還一”；“二歸，見二無除作九二，起一下還二”等等。第六、七卷中，程大位還給出珠算開平、立方的方法。雖不能肯定這是他的發(fā)明，但該書確是最早記載這種方法的古算書之一。(成書稍早于《算法統(tǒng)宗》而出版稍晚的朱載培《算學新說》中也有珠算開平、立方法。)書中的珠算定位法則應歸功于程大位，因為當時流行的珠算書中都未提到。

　　吳敬的《九章算法比類大全》中雖有定位法，但他是用于籌算。首次完整地敘述珠算定位法的是《算法統(tǒng)宗》中的“定位總歌”：

　　“數(shù)家定位法為奇，因乘俱向下位推。

　　加減只需認本位，歸與歸除上位施。

　　法多原實逆上數(shù)，法前得零順下宜。

　　法少原實降下數(shù)，法前得零逆上知。”

　　程大位十分重視珠算口訣，他認為口訣是學珠算、用珠算的基礎，一定要記熟。他反復強調：“一要熟讀九歌，二要誦歸除歌法”，“學算之人須努力，先將九數(shù)時時習。”

　　三、補充面積公式

　　在用珠算法解決的各種實際問題中，特別引人注目的是面積問題。對于廣大農(nóng)村來說，田畝測量是不可缺少的，所以程大位十分重視面積問題。在《算法統(tǒng)宗》卷三“方田”中，他結合田畝測量總結出大量面積公式，并編成歌謠，給出圖形。這一卷所繪圖形60余種，其中比較基本的有十幾種，其他都是由這些圖形割補而成的。這十幾種圖形中，一些是《九章算術》中已有公式的，如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圓田(圓形)、弧田(弓形)等，另一些圖形則是《九章算術》中沒有的，程大位分別給出公式。

　　對于計算結果、程大位既要求盡可能準確，又主張根據(jù)—體情況適可而止。

　　程大位不用舊法而創(chuàng)立“截法”、就是為了計算結果的準確。他說：“遇歪斜不等，必有斜步，豈可作正步相乘？若截之，庶無誤矣。”對于更加復雜的圖形，只用“截法”還不行，程大位便采用“截盈補虛”的方法，他說：“田之形狀甚多，具載難盡，學者不必執(zhí)泥，在于臨場機變，必須截盈補虛，卑尖減大，以合規(guī)式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形，另積旁余，并而于一，然后用法乘除之，用少廣章開方等法還原，始為精密之術焉。”但他對準確性的要求是有限度的，因為他著眼于應用。他指出：“世之習算者，咸以方五斜七、圍三徑一為準，殊不知方五則斜七有奇，徑一則圍三有奇”，可見他知道有更準確的比值，但他認為不一定使用，因為：數(shù)多則散漫難收”，即精確的數(shù)據(jù)位數(shù)多，計算起采太復雜，這在實際應用中往往是沒有必要的。

　　四、創(chuàng)造丈量步車

　　為了適應當時測量田畝的需要，程大位還創(chuàng)造了一種丈量步車，在《算法統(tǒng)宗》中繪有圖形并有詳細解說；這種測量工具類似于現(xiàn)在的卷尺，由環(huán)、十字架、轉軸、鎖、鉆角及纏在十字架內的竹尺(薄竹片制成的尺)構成，如圖6。這在當時是一種很先進的測量工具。程大位對自己的發(fā)明十分得意，在圖邊自題：“賓渠制造心機巧，隸首傳來數(shù)學精。”

　　五、寓算題于詩詞

　　除了《算法統(tǒng)宗》的內容以外，我們從它的文字形式上也可以看出作者重視數(shù)學的應用與普及的思想。全書文字分為敘述性文字、詩詞歌訣及圖表中的文字三種形式，而詩詞貫穿全書，占了相當大的比例。這些詩詞，既是優(yōu)美的文學作品，又是直接為數(shù)學服務的。例如“留頭乘”的歌訣是一首七絕：“下乘之法此為真，起于先將第二因，三四五來乘遍了，卻將本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用來命題：“群羊一百四十，剪毛不憚勤勞，群中有母有羊羔，先剪二毛比較。大羊剪毛斤二，一十二兩羔毛，百五十斤是根苗，子母各該多少？”這些詩詞淺明易懂，生動有趣，使讀者在學習珠算的過程中同時得到美的享受。再如盈肋章用來命題的一首五律：“今攜一壺酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店飲斗九。相逢三處店，飲盡壺中酒。試問能算士，如何知原有？”此詩不僅朗朗上口，而且具有濃厚的生活氣息。讀罷全詩，仿佛在眼前展現(xiàn)出一幅情趣盎然的攜酒春游圖。這種大眾化的生動詩歌，無疑會引起讀者的興趣。《算法統(tǒng)宗》寓算題于詩詞，賦予數(shù)學書以文學色彩，其普及數(shù)學的效果是顯而易見的。人們在愉快地欣賞這些詩詞的同時，也就開始了對數(shù)學的理解�！端惴ńy(tǒng)宗》成為明清兩代流傳最廣泛的算書，甚至能超越國度，受到日本、朝鮮和東南亞各國人民的歡迎，其引人入勝的文字無疑是原因之一。