小學數(shù)學故事：探尋之旅（一）

　　還記得年少時的夢嗎？

　　還記得你小學時背誦的素數(shù)表嗎？那時候它還叫做質數(shù)表“2、3、5、7……”如今你是否已經(jīng)真正理解了老師說過的話：這些只能被1和本身整除的數(shù)，具有著無窮的魅力。

　　還記得你中學時計算的2的整數(shù)冪嗎？計算機時代，作為二進制的體現(xiàn)，它們正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年來，個人計算機內(nèi)存的容量正是經(jīng)歷了這些熟悉的數(shù)字，直到現(xiàn)在的2048M（2G）以及更多。

　　現(xiàn)在，讓我們從這些2的整數(shù)冪中挑出以素數(shù)為指數(shù)的，再把它減1，試試看會發(fā)現(xiàn)什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……

　　嗯，你的心是不是激動起來了？一個偉大的發(fā)現(xiàn)似乎就在眼前……

　　別急別急，你的發(fā)現(xiàn)很妙，只是有些兒惋惜……你已經(jīng)遲到了二千年。

　　在2300多年前，古希臘的數(shù)學家，那位寫出不朽的《幾何原本》的歐幾里得在證明了素數(shù)有無窮多個之后，就順便指出：有許多素數(shù)可以寫成2P－1的形式，其中指數(shù)P也是素數(shù)。很容易想到，剛才你所發(fā)現(xiàn)的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4個！

　　當P＝11、13、17、19、23……的時候，2P－1還是素數(shù)嗎？到底有多少這種2P－1型的素數(shù)呢？在計算能力低下的公元前，這個關于素數(shù)的探尋之旅就已經(jīng)吸引了無數(shù)的人。

　　人們唯獨對素數(shù)如此著迷不是沒有理由的，它有著許多簡單而又美麗的猜想，有的已經(jīng)成為定理，而有的則至今還沒有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，讓人們苦苦追索：是否任何一個大于或等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個奇素數(shù)的和？再比如孿生素數(shù)問題所提出的：象5和7、41和43這樣相差2的素數(shù)，到底有多少對呢？

　　在數(shù)學史上起個大早的古希臘人還有許多關于素數(shù)的發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)就是其中之一。畢達哥拉斯學派指出，如果一個數(shù)的所有因數(shù)（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，則這個數(shù)就叫做完美數(shù)。很容易找到，6＝1＋2＋3是第一個完美數(shù)，28＝1＋2＋4＋7＋14則是第二個完美數(shù)。他們認為，上帝用6天創(chuàng)造了世界，因此6是最理想和完美的數(shù)字，而和6具有相同性質的數(shù)都堪稱完美數(shù)。

　　歐幾里得在《幾何原本》中證明了如果2P－1是一個素數(shù)，那么2P－1（2P－1）一定是一個完美數(shù)（你會發(fā)現(xiàn)，當P分別等于2、3時，它就對應著前兩個完美數(shù)6、28）。

　　再后來，歐拉進一步證明，每一個偶完美數(shù)也必定是歐幾里得所給出的形式。（不要問我奇完美數(shù)呢？就連它是否存在，本身也是無數(shù)個關于素數(shù)的難題中至今未解的一個。）

　　很容易看到，找到了2P－1形式的素數(shù)，也就發(fā)現(xiàn)了新的完美數(shù)。

　　形如2P－1的素數(shù)還長期占據(jù)了人們尋找到的最大素數(shù)的光榮榜（僅在1989年后被39158×2216193－1奪走三年），因為判斷這樣一個數(shù)是素數(shù)的方法比判斷一個差不多大小的其他類型數(shù)是素數(shù)的方法要簡單得多。