小學數學故事：鬼谷子的難題

　　一日，鬼谷子在2--100這99個數字中選了2個數字，然后把它們的和告訴了龐涓，把積告訴了孫臏。當然，龐涓不知道積是多少，孫臏不知道和是多少。第二日，龐涓遇見孫臏很傲慢的對孫臏說：“雖然我不知道這兩個數是多少但是我肯定你也不知道。”孫臏立刻還擊道：“本來我不知道的，但是現(xiàn)在我知道這兩個數是多少了。”龐涓想了一會，說道：“現(xiàn)在我也知道這兩個數是多少了。”

　　請問這二個數各是多少？

　　1、龐涓能確定孫臏肯定不知道這兩個數，可以有這樣幾個推論。

　　A）龐涓手上的數字是5-197之間的數字。

　　B）龐涓的和數一定不能拆成兩個質數之和，否則就不會有確信。這可以分解為兩點：龐涓手上不是偶數，只可能是奇數，因為任意偶數能被拆成兩個質數之和，這是由歌德巴赫猜想來保證；龐涓手上的奇數不是2+質數。舉例：如果龐涓手上是28，根據歌德巴赫猜想可以拆成11+17，當孫臏拿到了181這個積，馬上就可以猜出鬼谷子給他的兩個數是11和17，與龐涓肯定孫臏不知道這兩個數相矛盾，因此將所有偶數排除。舉例：當龐涓手上的數為質數+2時，例如21，而正好是19+2，那樣孫臏手上的數是38，只有一種分解方法2*19，因此孫臏同樣一開始就能確定這兩個數字。

　　C)龐涓的和數一定不是大于53的奇數。因為大于53的奇數始終能夠拆成偶數和53（是質數）的乘積，這個乘積只能唯一的推斷出53和該偶數的乘積，否則就要大于99了。另外97是質數，同理應該排除97+2到97+98的所有奇數。最后剩下的是99+98的奇數，因為都是最大的數，孫臏本來就可以推理出來，與孫臏本來不知道的前提相矛盾，自然排除了。因此由此可以排除超過53以上的所有奇數。舉例：如果龐涓手上的數字是59，那有一種可能是53+6，當孫臏拿到318時也只有一種分解方式是53*6，因為106*3和159*2中的106和159都大于了99這個最大的數字，因此這與孫臏事先不能肯定相矛盾。同理可以推理到195=97+98這中間的所有奇數都被排除，因為97是質數。

　　因此，當龐涓手上是53以上的奇數不會有這種把握孫臏肯定不知道這兩個數。

　　D）這樣的數字有10個：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。

　　2、孫臏知道自己手中的積，并說本來不知道，但現(xiàn)在知道了。意味著，孫臏看了自己手上的積后分解因式對應的所有組合的和，只可能是上述10個數中的一個。也就是10個和數拆開的乘積不于其他和數拆開乘積重合的才可能是孫臏的積。這種積有許多種，關鍵是龐涓的第三句話。

　　3、龐涓是知道自己手中的和數，當孫臏說了這句話的時候，龐涓說也知道這兩個數字了，那龐涓手上的和數有一個特點，就是除一個例外的可能積，其他所有可能的積都包含在其他9個和數的可能積中間，否則龐涓沒有這種自信。也就是在10個和數中找出積的數組合中只有唯一一對數不出現(xiàn)在其他數字的積組合中，而所有其他任一數字的積組合必然有多對超出另外9個和數的積組合。

　　注意2、和3、小點中只有孫臏和龐涓知道自己手中的數字的時候才敢講這話，說明是有針對性的唯一的。仔細體會這點。

　　本人排出來是4和13。和數17，積為52。

　　17可以拆成（2+15），（4+13），（6+11），（8+9），（10+7），（12+5），（14+3）。

　　2*15=6*5，被和為11的包括了；6*11=33*2，被和為35的包括了；8*9=24*3，和為27；10*7=35*2，和為37；12*5=20*3，和為23；14*3=21*2，和為23。惟獨4*13是不能被另外所有9個數組合出來的積所覆蓋。