宋代是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最輝煌的時(shí)期之一。北宋大科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》中，有10多條有關(guān)數(shù)學(xué)的討論，內(nèi)容既廣且深，堪稱我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶。

    沈括最重要的數(shù)學(xué)探討是隙積術(shù)和會(huì)圓術(shù)。隙積術(shù)在我國(guó)數(shù)學(xué)史上開(kāi)辟了高階等差級(jí)數(shù)求和的研究領(lǐng)域，對(duì)高階等差級(jí)數(shù)的研究始自沈括。

    所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒壇、疊起來(lái)的棋子等，這類堆積體整體上就像一個(gè)倒扣的斗，與平截頭的長(zhǎng)方錐（芻童）很像。但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式。沈括經(jīng)過(guò)思考后，發(fā)現(xiàn)了正確的計(jì)算方法。他以堆積的酒壇為例說(shuō)明這一問(wèn)題：設(shè)最上層為縱橫各2個(gè)壇子，最下層為縱橫各12個(gè)壇子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒壇共11層；每個(gè)酒壇的體積不妨設(shè)為1，用芻童體積公式計(jì)算，總體積為3784／6，酒壇總數(shù)也應(yīng)是這個(gè)數(shù)。顯然，酒壇數(shù)不應(yīng)為非整數(shù)，問(wèn)題何在呢？沈括提出，應(yīng)在芻童體積基礎(chǔ)上加上一項(xiàng)“（下寬－上寬）×高／6”，即為110／6，酒壇實(shí)際數(shù)應(yīng)為（3784＋110）／6＝649。加上去的這一項(xiàng)正是一個(gè)體積上的修正項(xiàng)。在這里，沈括以體積公式為基礎(chǔ)，把求解不連續(xù)的個(gè)體的累積數(shù)（級(jí)數(shù)求和），化為連續(xù)整體數(shù)值來(lái)求解，可見(jiàn)他已具有了用連續(xù)模型解決離散問(wèn)題的思想。

    會(huì)圓術(shù)是對(duì)圓的弧矢關(guān)系給出的比較實(shí)用的近似公式，主要思想是局部以直代曲。沈括進(jìn)一步應(yīng)用《九章算術(shù)》中弧田的面積近似公式，求出弧長(zhǎng)，這便是會(huì)圓術(shù)公式。沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當(dāng)圓心角小于45°時(shí)，相對(duì)誤差小于2％，所以該公式有較強(qiáng)的實(shí)用性。這是對(duì)劉徽割圓術(shù)以弦（正多邊形的邊）代替圓弧思想的一個(gè)重要佐證，很有理論意義。后來(lái)，郭守敬、王恂在歷法計(jì)算中，就應(yīng)用了會(huì)圓術(shù)。

　　在《夢(mèng)溪筆談》中，沈括還應(yīng)用組合數(shù)學(xué)法計(jì)算得出圍棋可能的局?jǐn)?shù)是3 361種，并提出用數(shù)量級(jí)概念來(lái)表示大數(shù)3 361的方法。沈括還在書中記載了一些運(yùn)籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來(lái)?yè)尵群拥痰乃�陷，以及用挖路成河、取土、運(yùn)輸，最后又將建筑垃圾填河成路的方法來(lái)修復(fù)皇宮等。沈括對(duì)數(shù)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數(shù)�！憋@然他否定了數(shù)的神秘性，而肯定了數(shù)與物的關(guān)系。他還指出：“然算術(shù)不患多學(xué)，見(jiàn)簡(jiǎn)即用，見(jiàn)繁即變，乃為通術(shù)也�！�