余數(shù)推算

　　其實海倫只不過數(shù)出了樂隊的總人數(shù)，發(fā)現(xiàn)它是5的倍數(shù)而已。但你怎樣才能在沒到現(xiàn)場的情況下，確定其人數(shù)呢？

　　哈！訣竅在這兒呢。當樂隊排2、3、4列縱隊時，總是剩余一個人，即斯皮羅。顯而易見，有這種特征的最小數(shù)是2、3、4的最小公倍數(shù)再加1。而因為最小公倍數(shù)是12，所以任何一個比12的倍數(shù)大1的數(shù)當被2、3、4整除時都余1。

　　當樂隊排五列縱隊前進時，一個人也不多余。因此，人數(shù)又一定是5的倍數(shù)。所以，這個問題的答案一定是下列一串數(shù)的倍數(shù)：13、25、37、49、61、73、85、97、109、121、133、145……

　　對于一個學校樂隊來說，從145往上太龐大了，所以，尼康高校的樂隊或者有85人，或者有25人。至于確定是二者中的哪一個，我們目前缺乏足夠的證據(jù)。

　　這個問題有一個很好變形，即除了每次以2、3、4路縱隊前進時，最后一排都少一個人外，其它與上題都一樣，問現(xiàn)在樂隊有多少人？這又要我們寫出一串比12的倍數(shù)少1，又能被5整除的數(shù)，它們是：35、95、155……

　　美國的難題專家薩姆?洛德先生出了下面一個與上題有關、但更難一點的題：在紐約一個帕特里克節(jié)日里，一大群愛爾蘭人正準備一年一度的游行，指揮者試圖把隊伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齊的隊伍前進，但每種情況下最后一排者都少一個人，因此人們認為這個位置大概是給幾個月前剛死的卡茜的靈魂留著的。最后，指揮者無可奈何命令隊伍排單列縱隊前進。假設游行隊伍的總人數(shù)不超過5000人，那么參加此次游行的共計有多少人？這是一道尋找一系列數(shù)字的最小公倍數(shù)的極好的練習。這種情形下的最小公倍數(shù)是2520，如果去掉“卡茜”所占的位置，最終答案是2519。

　　如果每一次分配后剩下的人數(shù)是各不相同的，則問題似乎都比較困難。其實不然。比如追溯到十七世紀，印度算術課本上有這樣一道難題：一位挎著一籃雞蛋的婦女被疾馳而過的馬所驚，雞蛋籃掉在了地上，籃子里的雞蛋全碎了。當問及籃子里有多少蛋時，她只能記起當她以2、3、4、5為一組數(shù)雞蛋的數(shù)目時，每次分別剩余1、2、3、4只雞蛋。那么她籃子里原來盛有多少雞蛋呢？

　　這題乍看確實比上題難得多。實際上，它與我們做過的第二題的第一部分一樣，因為在每種情形下，余數(shù)都比除數(shù)少1，因此與前面一樣，它可以通過尋找最小公倍數(shù)再減去1來解決。

　　當余數(shù)與除數(shù)沒有固定關系時，問題就會真正變得變雜了。下面是一道以這類題為基礎，借助計算器來進行的魔術，你將發(fā)現(xiàn)它是既有趣又迷惑人的。

　　魔術師背對觀眾坐在一張椅子上，讓某位觀眾心中隨意想定一個不超過1000的數(shù)，然后用7去除這個數(shù)并報出余數(shù)；然后再用11去除原來想定的數(shù)，然后再用13去除，并都報出余數(shù)。

　　為加快這一魔術的進行，這位觀眾用袖珍計算器算出三個余數(shù)。其實這借助下面算法很容易解決：先完成除法，去掉商的整數(shù)部分，再將剩下的分數(shù)部分乘以原來的除數(shù)，得出的結果即為要找的余數(shù)。

　　魔術師不僅僅知道三個余數(shù)，他之所以能猜算觀眾想的那個數(shù)字，緣由在于他也使用了袖珍計算器和貼在計算器上面小紙條上的公式：即：

　　K=(715a+364b+924c)/1001(其中K為要求的數(shù))

　　在這個公式中，a、b、和c分別代表三個被報出來的余數(shù)，所求的數(shù)就是通過此公式計算出來的余數(shù)。

　　這個奇怪的公式是這樣得到的。第一個系數(shù)是比a的倍數(shù)多1的b×c的最小倍數(shù)。找它有一個訣竅，當除數(shù)很小時，比如像此題的情況，很容易得到要求的數(shù)。簡單增長b×c的倍數(shù)(143，286，572，715……)，直到此數(shù)被a除余1即是，在此a=7的情形下，系數(shù)是715。

　　其它兩個系數(shù)可以通過同樣途徑得到。第二個系數(shù)是a×c的倍數(shù)中被b除余1的最小的數(shù)；第三個系數(shù)是a×b的倍數(shù)中被c除時余1的最小的數(shù)。公式中分數(shù)線下面的系數(shù)就是由簡單的a×b×c得來。通過這個公式，你可由任何一組被提供的互素的除數(shù)(沒有公約數(shù))導出一個玄秘的公式。這里除數(shù)之間互素并不是必要條件。只是在我們的例題中為計算方便。

　　這個一般公式的證明要用到“模算術”及“中華余數(shù)定理”。這個定理是最有價值的數(shù)字定理之一，而這些數(shù)字定理在很多類似科學命題的高深證法中起很重要的作用。

　　下面做一個練習，試導出一個公式，作為這一魔術的簡單翻版。這練習可追溯到公元一世紀中國數(shù)學家孫子，“中華余數(shù)定理”即以他的名字命名。此練習中被選的數(shù)字限定在1到105，除數(shù)是3，5和7，在此情形下，公式推導相當簡單，經(jīng)過多次練習。你甚至可以用心算。