還記得年少時(shí)的夢(mèng)嗎？

　　還記得你小學(xué)時(shí)背誦的素?cái)?shù)表嗎？那時(shí)候它還叫做質(zhì)數(shù)表“2、3、5、7……”如今你是否已經(jīng)真正理解了老師說過的話：這些只能被1和本身整除的數(shù)，具有著無窮的魅力。

　　還記得你中學(xué)時(shí)計(jì)算的2的整數(shù)冪嗎？計(jì)算機(jī)時(shí)代，作為二進(jìn)制的體現(xiàn)，它們正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年來，個(gè)人計(jì)算機(jī)內(nèi)存的容量正是經(jīng)歷了這些熟悉的數(shù)字，直到現(xiàn)在的2048M（2G）以及更多。

　　現(xiàn)在，讓我們從這些2的整數(shù)冪中挑出以素?cái)?shù)為指數(shù)的，再把它減1，試試看會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……

　　嗯，你的心是不是激動(dòng)起來了？一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)似乎就在眼前……

　　別急別急，你的發(fā)現(xiàn)很妙，只是有些兒惋惜……你已經(jīng)遲到了二千年。

　　在2300多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家，那位寫出不朽的《幾何原本》的歐幾里得在證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)之后，就順便指出：有許多素?cái)?shù)可以寫成2P－1的形式，其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)。很容易想到，剛才你所發(fā)現(xiàn)的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4個(gè)！

　　當(dāng)P＝11、13、17、19、23……的時(shí)候，2P－1還是素?cái)?shù)嗎？到底有多少這種2P－1型的素?cái)?shù)呢？在計(jì)算能力低下的公元前，這個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的探尋之旅就已經(jīng)吸引了無數(shù)的人。

　　人們唯獨(dú)對(duì)素?cái)?shù)如此著迷不是沒有理由的，它有著許多簡(jiǎn)單而又美麗的猜想，有的已經(jīng)成為定理，而有的則至今還沒有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，讓人們苦苦追索：是否任何一個(gè)大于或等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和？再比如孿生素?cái)?shù)問題所提出的：象5和7、41和43這樣相差2的素?cái)?shù)，到底有多少對(duì)呢？

　　在數(shù)學(xué)史上起個(gè)大早的古希臘人還有許多關(guān)于素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)，完美數(shù)就是其中之一。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派指出，如果一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，則這個(gè)數(shù)就叫做完美數(shù)。很容易找到，6＝1＋2＋3是第一個(gè)完美數(shù)，28＝1＋2＋4＋7＋14則是第二個(gè)完美數(shù)。他們認(rèn)為，上帝用6天創(chuàng)造了世界，因此6是最理想和完美的數(shù)字，而和6具有相同性質(zhì)的數(shù)都堪稱完美數(shù)。

　　歐幾里得在《幾何原本》中證明了如果2P－1是一個(gè)素?cái)?shù)，那么2P－1（2P－1）一定是一個(gè)完美數(shù)（你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P分別等于2、3時(shí)，它就對(duì)應(yīng)著前兩個(gè)完美數(shù)6、28）。

　　再后來，歐拉進(jìn)一步證明，每一個(gè)偶完美數(shù)也必定是歐幾里得所給出的形式。（不要問我奇完美數(shù)呢？就連它是否存在，本身也是無數(shù)個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的難題中至今未解的一個(gè)。）

　　很容易看到，找到了2P－1形式的素?cái)?shù)，也就發(fā)現(xiàn)了新的完美數(shù)。

　　形如2P－1的素?cái)?shù)還長期占據(jù)了人們尋找到的最大素?cái)?shù)的光榮榜（僅在1989年后被39158×2216193－1奪走三年），因?yàn)榕袛噙@樣一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)的方法比判斷一個(gè)差不多大小的其他類型數(shù)是素?cái)?shù)的方法要簡(jiǎn)單得多。

　　對(duì)2P－1型素?cái)?shù)的搜尋之旅就這樣出發(fā)了，先后投入這個(gè)漫漫長途的就有數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈……這一個(gè)個(gè)閃光的名字正如暗夜前行的火炬手，照亮了人類通往未知的道路。

　　歷史的天空閃爍幾顆星

　　讓我們將坐上時(shí)間機(jī)器，回到過去，重新瀏覽這來路風(fēng)光吧。

　　1456年，又一個(gè)沒有留下姓名的人發(fā)現(xiàn)了第5個(gè)2P－1型的素?cái)?shù)：213－1。若是你就降生在那個(gè)年代，或許這次發(fā)現(xiàn)的光榮將歸屬于你。只是，你更有可能犯下和當(dāng)時(shí)的人們一樣的錯(cuò)誤，以為對(duì)于所有的素?cái)?shù)P，2P－1都是素?cái)?shù)。要知道，這個(gè)錯(cuò)誤是近百年之后，直到1536年，才由雷吉烏斯(Hudalricus Regius)打破的。他指出，211-1＝2047＝23×89，不是素?cái)?shù)。

　　不過你的莽撞完全可以得到諒解，在黑暗中尋找的數(shù)學(xué)家正如年輕人一樣，犯下的錯(cuò)誤連上帝都會(huì)原諒。第一個(gè)對(duì)這種類型的素?cái)?shù)進(jìn)行整理的皮特羅?卡塔爾迪(Pietro Cataldi)在他在1603年宣布的結(jié)果中就言之鑿鑿地說：對(duì)于p=17，19，23，29，31和37，2P－1是素?cái)?shù)。只可惜，37年后，他的六個(gè)結(jié)果就被推翻了兩個(gè)，費(fèi)爾馬使用著名的小費(fèi)爾馬（不是那個(gè)更著名的大費(fèi)爾馬定理）證明了卡塔爾迪關(guān)于P＝23和37的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

　　不知道下面的事實(shí)會(huì)不會(huì)讓你聯(lián)想到“屋漏偏逢連夜雨”呢？大約一百年后，1738年，歐拉證明了卡塔爾迪的結(jié)果中P＝29也是錯(cuò)誤的。幸好，歐拉又證明了P＝31的結(jié)論是對(duì)的。

　　雖然，卡塔爾迪的六個(gè)結(jié)果“陣亡”了一半，但考慮到他是用手工計(jì)算取得結(jié)論的，而費(fèi)爾馬和歐拉則是使用了在他們那時(shí)最先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，避免了許多復(fù)雜的計(jì)算和因此可能造成的錯(cuò)誤，因此我們?nèi)匀灰獙?duì)卡塔爾迪致敬。他也由此光榮地占據(jù)了第六個(gè)和第七個(gè)的發(fā)現(xiàn)者之位，在他之前的，都是無名氏。

　　卡塔爾迪的成功，說明了整理和預(yù)測(cè)是正確道路。繼他之后，集研究成果大成的，是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士馬林?梅森（Marin Mersenne,1588-1648）。

　　梅森熱心于宗教，但更喜愛數(shù)學(xué)；他是一個(gè)交往廣泛、熱情誠摯的人，更是一座“科學(xué)信息交換站”。為什么呢？那時(shí)候，學(xué)術(shù)刊物、國際會(huì)議甚至科研機(jī)構(gòu)都還沒有誕生。“及時(shí)雨”般的梅森是歐洲眾多科學(xué)家之間聯(lián)系的橋梁，大家把研究成果寄給他，然后再由他轉(zhuǎn)告給更多的人。費(fèi)馬、笛卡爾等數(shù)學(xué)家每周在他家聚會(huì)，討論問題，就這樣慢慢形成的”梅森學(xué)院”，后來有了一個(gè)更響亮的名字——法蘭西科學(xué)院。

　　1644年，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人的有關(guān)研究的基礎(chǔ)上對(duì)2P－1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中斷言：對(duì)于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時(shí)，2P－1是素?cái)?shù)；而對(duì)于P等于其他所有小于257的數(shù)時(shí)，2P－1是合數(shù)。這里前7個(gè)數(shù)（即2，3，5，7，13，17和19）是在前人的工作已經(jīng)證實(shí)的部分。而后面的4個(gè)數(shù)（即31，67，127和257）屬于被猜測(cè)的部分。不過，人們對(duì)他的斷言深信不疑，連大數(shù)學(xué)家萊布尼茲和哥德巴赫都認(rèn)為它是對(duì)的。

　　梅森的工作極大地激發(fā)了人們研究2P－1型素?cái)?shù)的熱情，成為素?cái)?shù)研究的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和里程碑。為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就把這種數(shù)稱為“梅森數(shù)”，并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。如果梅森數(shù)為素?cái)?shù)，則稱之為“梅森素?cái)?shù)”（即2P－1型素?cái)?shù)）。

　　對(duì)梅森素?cái)?shù)的驗(yàn)證，需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算，即使是”猜測(cè)”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也是一個(gè)10位數(shù)。而梅森自己則承認(rèn)：“一個(gè)人，使用一般的驗(yàn)證方法，要檢驗(yàn)一個(gè)15位或20位的數(shù)字是否為素?cái)?shù)，即使終生的時(shí)間也是不夠的。”年邁力衰的他四年之后就去世了，最終并沒有任何一個(gè)梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)權(quán)歸屬于他，但考慮到他已經(jīng)享有了“冠名權(quán)”，就把榮譽(yù)分給那些在漫漫長途上跋涉的發(fā)現(xiàn)者們吧！