還記得年少時的夢嗎？

　　還記得你小學時背誦的素數表嗎？那時候它還叫做質數表“2、3、5、7……”如今你是否已經真正理解了老師說過的話：這些只能被1和本身整除的數，具有著無窮的魅力。

　　還記得你中學時計算的2的整數冪嗎？計算機時代，作為二進制的體現，它們正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年來，個人計算機內存的容量正是經歷了這些熟悉的數字，直到現在的2048M（2G）以及更多。

　　現在，讓我們從這些2的整數冪中挑出以素數為指數的，再把它減1，試試看會發(fā)現什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……

　　嗯，你的心是不是激動起來了？一個偉大的發(fā)現似乎就在眼前……

　　別急別急，你的發(fā)現很妙，只是有些兒惋惜……你已經遲到了二千年。

　　在2300多年前，古希臘的數學家，那位寫出不朽的《幾何原本》的歐幾里得在證明了素數有無窮多個之后，就順便指出：有許多素數可以寫成2P－1的形式，其中指數P也是素數。很容易想到，剛才你所發(fā)現的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4個！

　　當P＝11、13、17、19、23……的時候，2P－1還是素數嗎？到底有多少這種2P－1型的素數呢？在計算能力低下的公元前，這個關于素數的探尋之旅就已經吸引了無數的人。

　　人們唯獨對素數如此著迷不是沒有理由的，它有著許多簡單而又美麗的猜想，有的已經成為定理，而有的則至今還沒有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，讓人們苦苦追索：是否任何一個大于或等于6的偶數，都可以表示為兩個奇素數的和？再比如孿生素數問題所提出的：象5和7、41和43這樣相差2的素數，到底有多少對呢？

　　在數學史上起個大早的古希臘人還有許多關于素數的發(fā)現，完美數就是其中之一。畢達哥拉斯學派指出，如果一個數的所有因數（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，則這個數就叫做完美數。很容易找到，6＝1＋2＋3是第一個完美數，28＝1＋2＋4＋7＋14則是第二個完美數。他們認為，上帝用6天創(chuàng)造了世界，因此6是最理想和完美的數字，而和6具有相同性質的數都堪稱完美數。

　　歐幾里得在《幾何原本》中證明了如果2P－1是一個素數，那么2P－1（2P－1）一定是一個完美數（你會發(fā)現，當P分別等于2、3時，它就對應著前兩個完美數6、28）。

　　再后來，歐拉進一步證明，每一個偶完美數也必定是歐幾里得所給出的形式。（不要問我奇完美數呢？就連它是否存在，本身也是無數個關于素數的難題中至今未解的一個。）

　　很容易看到，找到了2P－1形式的素數，也就發(fā)現了新的完美數。

　　形如2P－1的素數還長期占據了人們尋找到的最大素數的光榮榜（僅在1989年后被39158×2216193－1奪走三年），因為判斷這樣一個數是素數的方法比判斷一個差不多大小的其他類型數是素數的方法要簡單得多。

　　對2P－1型素數的搜尋之旅就這樣出發(fā)了，先后投入這個漫漫長途的就有數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈……這一個個閃光的名字正如暗夜前行的火炬手，照亮了人類通往未知的道路。

　　歷史的天空閃爍幾顆星

　　讓我們將坐上時間機器，回到過去，重新瀏覽這來路風光吧。

　　1456年，又一個沒有留下姓名的人發(fā)現了第5個2P－1型的素數：213－1。若是你就降生在那個年代，或許這次發(fā)現的光榮將歸屬于你。只是，你更有可能犯下和當時的人們一樣的錯誤，以為對于所有的素數P，2P－1都是素數。要知道，這個錯誤是近百年之后，直到1536年，才由雷吉烏斯(Hudalricus Regius)打破的。他指出，211-1＝2047＝23×89，不是素數。

　　不過你的莽撞完全可以得到諒解，在黑暗中尋找的數學家正如年輕人一樣，犯下的錯誤連上帝都會原諒。第一個對這種類型的素數進行整理的皮特羅?卡塔爾迪(Pietro Cataldi)在他在1603年宣布的結果中就言之鑿鑿地說：對于p=17，19，23，29，31和37，2P－1是素數。只可惜，37年后，他的六個結果就被推翻了兩個，費爾馬使用著名的小費爾馬（不是那個更著名的大費爾馬定理）證明了卡塔爾迪關于P＝23和37的結論是錯誤的。

　　不知道下面的事實會不會讓你聯想到“屋漏偏逢連夜雨”呢？大約一百年后，1738年，歐拉證明了卡塔爾迪的結果中P＝29也是錯誤的。幸好，歐拉又證明了P＝31的結論是對的。

　　雖然，卡塔爾迪的六個結果“陣亡”了一半，但考慮到他是用手工計算取得結論的，而費爾馬和歐拉則是使用了在他們那時最先進的數學知識，避免了許多復雜的計算和因此可能造成的錯誤，因此我們仍然要對卡塔爾迪致敬。他也由此光榮地占據了第六個和第七個的發(fā)現者之位，在他之前的，都是無名氏。

　　卡塔爾迪的成功，說明了整理和預測是正確道路。繼他之后，集研究成果大成的，是17世紀法國著名的數學家和修道士馬林?梅森（Marin Mersenne,1588-1648）。

　　梅森熱心于宗教，但更喜愛數學；他是一個交往廣泛、熱情誠摯的人，更是一座“科學信息交換站”。為什么呢？那時候，學術刊物、國際會議甚至科研機構都還沒有誕生。“及時雨”般的梅森是歐洲眾多科學家之間聯系的橋梁，大家把研究成果寄給他，然后再由他轉告給更多的人。費馬、笛卡爾等數學家每周在他家聚會，討論問題，就這樣慢慢形成的”梅森學院”，后來有了一個更響亮的名字——法蘭西科學院。

　　1644年，梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2P－1作了大量的計算、驗證工作，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時，2P－1是素數；而對于P等于其他所有小于257的數時，2P－1是合數。這里前7個數（即2，3，5，7，13，17和19）是在前人的工作已經證實的部分。而后面的4個數（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分。不過，人們對他的斷言深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。

　　梅森的工作極大地激發(fā)了人們研究2P－1型素數的熱情，成為素數研究的一個轉折點和里程碑。為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”，并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2P－1型素數）。

　　對梅森素數的驗證，需要進行艱巨的計算，即使是”猜測”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也是一個10位數。而梅森自己則承認：“一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的。”年邁力衰的他四年之后就去世了，最終并沒有任何一個梅森素數的發(fā)現權歸屬于他，但考慮到他已經享有了“冠名權”，就把榮譽分給那些在漫漫長途上跋涉的發(fā)現者們吧！