小學(xué)數(shù)學(xué)故事：探尋之旅（二）

　　那些手扛肩挑的年代

　　手算筆錄的時(shí)代，每前進(jìn)一步，都顯得格外艱難。1772年，在卡塔爾迪提出近200年之后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了M31確實(shí)是一個(gè)素?cái)?shù)，這是人們找到的第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，它共有10位數(shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)，歐拉也因此成為第二個(gè)在發(fā)現(xiàn)者名單上留名的人。讓人驚嘆的是，這是在他雙目失明的情況下，靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了“數(shù)學(xué)英雄”的美譽(yù)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.Laplace）說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”

　　100年后，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯提出了一個(gè)用來判別Mp是否是素?cái)?shù)的重要定理——魯卡斯定理，這為梅森素?cái)?shù)的研究提供了有力的工具。1883年，數(shù)學(xué)家波佛辛（Pervushin）利用魯卡斯定理證明了M61也是素?cái)?shù)–這是梅森漏掉了的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素?cái)?shù)：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯（Powers）發(fā)現(xiàn)。

　　還記得梅森預(yù)測的四個(gè)素?cái)?shù)嗎？其中M31已經(jīng)為歐拉證明，M127則在魯卡斯提出定理時(shí)順帶證明，雖然中間漏掉了3個(gè)，但至少還有另外兩個(gè)：M67和M257是不是素?cái)?shù)呢……

　　M67的證明又是一個(gè)精彩的故事。

　　1903年，數(shù)學(xué)家柯爾在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的大會(huì)上作了一個(gè)報(bào)告。他先是專注地在黑板上算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個(gè)算式結(jié)果完全相同！換句話說，他成功地把267－1分解為兩個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，從而證明了M67是個(gè)合數(shù)。

　　報(bào)告中，他一言未發(fā)，卻贏得了現(xiàn)場聽眾的起立鼓掌，更成了數(shù)學(xué)史上的佳話。閱讀這段歷史，我們懂得了什么叫做“事實(shí)勝于雄辯”。記者好奇地問他是怎樣得到這么精彩的發(fā)現(xiàn)的，柯爾回答“三年里的全部星期天”。他后來當(dāng)選為美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長，去世后，該協(xié)會(huì)專門設(shè)立了“柯爾獎(jiǎng)”，用于獎(jiǎng)勵(lì)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。

　　1922年，數(shù)學(xué)家克萊契克驗(yàn)證了M257并不是素?cái)?shù)，而是合數(shù)（但他沒有給出這一合數(shù)的因子，直到20世紀(jì)80年代人們才知道它有3個(gè)素因子）。

　　于是乎，梅森的四個(gè)猜測獲得了兩正確、三遺漏和兩錯(cuò)誤的成績，但這無損于他的光榮。在千年的探尋之旅中，偉大如歐拉也會(huì)犯錯(cuò)誤，他在1750年宣布說找到了梅森的“遺漏”：M41和M47也是素?cái)?shù)，但最終上M41和M47都不是素?cái)?shù)。

　　直到1947年，對(duì)于p≤257的梅森素?cái)?shù)Mp的正確結(jié)果才被確定，也就是當(dāng)p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時(shí)，Mp是素?cái)?shù)�，F(xiàn)在這個(gè)表已經(jīng)被反復(fù)驗(yàn)證，一定不會(huì)有錯(cuò)誤了。

　　我們看到，在手工計(jì)算的時(shí)代，人們一共找到了12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

　　計(jì)算機(jī)！計(jì)算機(jī)！