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小學(xué)數(shù)學(xué)故事:探尋之旅(二)

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 文章作者:奧數(shù)網(wǎng)整理 2018-11-10 11:22:46

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小學(xué)數(shù)學(xué)故事:探尋之旅(二)

  那些手扛肩挑的年代

  手算筆錄的時(shí)代,每前進(jìn)一步,都顯得格外艱難。1772年,在卡塔爾迪提出近200年之后,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了M31確實(shí)是一個(gè)素?cái)?shù),這是人們找到的第8個(gè)梅森素?cái)?shù),它共有10位數(shù),堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù),歐拉也因此成為第二個(gè)在發(fā)現(xiàn)者名單上留名的人。讓人驚嘆的是,這是在他雙目失明的情況下,靠心算完成的。這種超人般的毅力與技巧讓歐拉獲得了“數(shù)學(xué)英雄”的美譽(yù)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.Laplace)說的話,或許可以代表我們的心聲:“讀讀歐拉,他是我們每一個(gè)人的老師。”

  100年后,法國數(shù)學(xué)家魯卡斯提出了一個(gè)用來判別Mp是否是素?cái)?shù)的重要定理——魯卡斯定理,這為梅森素?cái)?shù)的研究提供了有力的工具。1883年,數(shù)學(xué)家波佛辛(Pervushin)利用魯卡斯定理證明了M61也是素?cái)?shù)–這是梅森漏掉了的。梅森還漏掉另外兩個(gè)素?cái)?shù):M89和M107,它們分別在1911年與1914年被數(shù)學(xué)家鮑爾斯(Powers)發(fā)現(xiàn)。

  還記得梅森預(yù)測的四個(gè)素?cái)?shù)嗎?其中M31已經(jīng)為歐拉證明,M127則在魯卡斯提出定理時(shí)順帶證明,雖然中間漏掉了3個(gè),但至少還有另外兩個(gè):M67和M257是不是素?cái)?shù)呢……

  M67的證明又是一個(gè)精彩的故事。

  1903年,數(shù)學(xué)家柯爾在美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的大會(huì)上作了一個(gè)報(bào)告。他先是專注地在黑板上算出267-1,接著又算出193707721×761838257287,兩個(gè)算式結(jié)果完全相同!換句話說,他成功地把267-1分解為兩個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式,從而證明了M67是個(gè)合數(shù)。

  報(bào)告中,他一言未發(fā),卻贏得了現(xiàn)場聽眾的起立鼓掌,更成了數(shù)學(xué)史上的佳話。閱讀這段歷史,我們懂得了什么叫做“事實(shí)勝于雄辯”。記者好奇地問他是怎樣得到這么精彩的發(fā)現(xiàn)的,柯爾回答“三年里的全部星期天”。他后來當(dāng)選為美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長,去世后,該協(xié)會(huì)專門設(shè)立了“柯爾獎(jiǎng)”,用于獎(jiǎng)勵(lì)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。

  1922年,數(shù)學(xué)家克萊契克驗(yàn)證了M257并不是素?cái)?shù),而是合數(shù)(但他沒有給出這一合數(shù)的因子,直到20世紀(jì)80年代人們才知道它有3個(gè)素因子)。

  于是乎,梅森的四個(gè)猜測獲得了兩正確、三遺漏和兩錯(cuò)誤的成績,但這無損于他的光榮。在千年的探尋之旅中,偉大如歐拉也會(huì)犯錯(cuò)誤,他在1750年宣布說找到了梅森的“遺漏”:M41和M47也是素?cái)?shù),但最終上M41和M47都不是素?cái)?shù)。

  直到1947年,對(duì)于p≤257的梅森素?cái)?shù)Mp的正確結(jié)果才被確定,也就是當(dāng)p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107和127時(shí),Mp是素?cái)?shù),F(xiàn)在這個(gè)表已經(jīng)被反復(fù)驗(yàn)證,一定不會(huì)有錯(cuò)誤了。

  我們看到,在手工計(jì)算的時(shí)代,人們一共找到了12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

  計(jì)算機(jī)!計(jì)算機(jī)!

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