六年級奧數(shù)課堂：數(shù)論的方法技巧之一

　　數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國內(nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當大的比重。

　　小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：

　　1．帶余除法：若a，b是兩個整數(shù)，b＞0，則存在兩個整數(shù)q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

　　且q，r是唯一的。

　　特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。

　　2．若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。

　　3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

　　其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標準分解。

　　4．約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標準分解式為（1），則它的正約數(shù)個數(shù)為：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

　　5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。

　　下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。