例3 從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？
解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則
a+b+c=18m，a+b+d=18n，
其中m，n是自然數(shù)。于是
c-d=18（m-n）。
上式說明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r，則
a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是
a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。
因?yàn)?/font>18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因?yàn)?/font>1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。
例4 求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。
解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式
由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有
�。�a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。
由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故
a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，
即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因?yàn)?/font>a4+1≥3＞2，故由
（a3+1）（a4+1）=10
知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。
例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？
解：因?yàn)?/font>210=1024，211=2048＞2000，每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=210，所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。
說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。
